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t检验方差不齐有多重要

传统统计教科书大多会提及t检验中方差齐性这个问题,因为检验的假设条件是需要总体方差相等的。然而这个问题实际上可能并没有人们想象的那么重要,这里给两个简单的数值计算结果,看看方差不等对检验结果有什么影响。

par(mar = c(4, 4, 0.5, 0.5), mfrow = c(1, 2))
set.seed(123)
plot(pval <- t(replicate(1000, {
    x1 = rnorm(100, mean = 0, sd = runif(1, 0.5, 1))
    x2 = rnorm(100, mean = 1, sd = runif(1, 2, 5))
    c(t.test(x1, x2, var.equal = TRUE)$p.value, t.test(x1, x2,
        var.equal = FALSE)$p.value)
})), xlab = "P-value: equal variance", ylab = "P-value: unequal variance",
    pch = 20, asp = 1)
abline(0, 1)
plot(pval[, 1], pval[, 2] - pval[, 1], xlab = "P-value: equal variance",
    ylab = "Diff of p-values (unequal var - equal var)", pch = 20)

过程是:从两个正态总体中生成样本,第一个总体均值为0,标准差随机取自U(0.5, 1),第二个总体均值为1,标准差取自U(2, 5),显然两个总体标准差不相等,那么在t检验时设定和不设定方差相等的选项对结果有多大影响?把两种情况的P值都画出来:左图是原始P值,可见基本在对角线上,说明大致相等,若眼神儿不好,可看右图,即P值的差异,可见方差不等时P值偏大(原因很简单,因为Welch校正的自由度小于等于不校正的自由度,样本量相等的时候统计量的分母即标准误一样,因此统计量完全一样,自由度越小,P值越大嘛),但大多少呢?其实也没大多少。

方差齐与不齐时t检验的结果对照

Welch/Satterthwaite当然不是吃饱了没事干,要校正自由度当然也是有用武之地的,尤其是当样本量严重不相等时,这两者的结果就差远了。把第一个样本量改成10,然后如法炮制:

par(mar = c(4, 4, 0.5, 0.5), mfrow = c(1, 2))
set.seed(123)
plot(pval <- t(replicate(1000, {
    x1 = rnorm(10, mean = 0, sd = runif(1, 0.5, 1))
    x2 = rnorm(100, mean = 1, sd = runif(1, 2, 5))
    c(t.test(x1, x2, var.equal = TRUE)$p.value, t.test(x1, x2,
        var.equal = FALSE)$p.value)
})), xlab = "P-value: equal variance", ylab = "P-value: unequal variance",
    pch = 20, asp = 1)
abline(0, 1)
abline(h = 0.05, v = 0.05, col = "gray")
plot(pval[, 1], pval[, 2] - pval[, 1], xlab = "P-value: equal variance",
    ylab = "Diff of p-values (unequal var - equal var)", pch = 20)

方差齐与不齐时t检验的结果对照(样本量不同)

这文章,上COS主站寒酸了点,有人能扩展一下就好了。不过这个过程倒是可以提醒广大人民群众避免“路见不平一声吼,吼完继续往前走”,尤其是懒得翻公式的人(像我这样),遇见问题,可以偷懒用计算的方法找答案。

附“大家来找茬”一则:第二次的代码和第一次有啥不一样(除了样本量变了之外)?为啥有这么个变化?这小子想干啥?